Методы Математической Физики. Попов В. А. (2007 год)
3 курс.
Дай вам всем бог сдать это...
Вопросы:
Специальные функции.
Задачи на собственные значения. Свойства собственных значений и собственных функций.
Теорема разложимости Стеклова. Норма собственных функций.
Уравнение Бесселя. Решение в виде ряда. Общее решение уравнения Бесселя.
Уравнения, сводящиеся к уравнению Бесселя
Реккурентные соотношения для функций Бесселя
Функции Бесселя полуцелого порядка
Ортогональность функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя.
Уравнение Лежандра. Формула Родрига.
Ортогональность полиномов Лежандра. Ряды Фурье -Лежандра
Теорема об отсутствии других ограниченных решении.
Присоединенные полиномы Лежандра.
Сферические функции
Уравнения математическом физики
Уравнения поперечных колебаний струны.
Уравнения продольных колебаний стержня.
Уравнения колебаний мембраны.
Уравнения злектродинамики.
Уравнения баланса.
Уравнения гидродинамики.
Классификация уравнений в частных производных 2го порядка для функции двух переменных. Приведение к каноническому виду.
Классификация уравнений в частых производных 2-го порядка для функции n переменных.
Уравнения гиперболического типа.
Краевые условия для уравнения гиперболического типа.
Решение задачи Коши для уравнений гиперболического типа. Формула Даламбера.
Физическая интерпретация решения.
Распространение волн на полуограниченной прямой.
Теорема единственное и для первой краевой задачи.
Редукция обшей краевой задачи.
Метод разделения переменных.
Условия сходимости ряда.
Физическая интерпретация решения.
Неоднородное уравнение колебаний
Уравнение колебания с неоднородными граничными условиями.
Колебания прямоугольной мембраны.
Колебания круглой мембраны.
Уравнения параболического типа.
Краевые условия для уравнении параболического типа.
Принцип максимального значения и следствия из него.
Теорема единственности для первой краевой задачи.
Теорема единственности для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой.
Метод разделения переменных.
Условия сходимости ряда
Физическая интерпретация решения. Функция источника.
Неоднородные уравнения теплопроводности. Функция источника.
Функция источника для задачи Коши. Интеграл Пуассона.
Решение уравнения теплопроводности на бесконечной и полубесконечной прямой с помощью преобразований Фурье.
Уравнения эллиптического типа
Постановка краевых задач для уравнении эллиптического типа.
Формулы Грина.
Гармонические функции.
Фундаментальные решения уравнения Лапласа.
Основная интегральная формула теории гармонических функций.
Свойства гармонических функций.
Теорема единственности для внутренней задачи Дирихле.
Теорема единственности для внешней задачи Дирихле в трехмерном пространстве.
Теорема единственности для внешней задачи Дирихле и двумерном пространстве.
Теорема единственности для внутренней задачи Неймана.
Решение внутренней и внешней задачи Дирихле для круга.
Условия сходимости ряда.
Формула Пуассона задачи Дирихле для круга.
Функция источника.
Решение задачи Дирихле для полупространства с помощью функции источника.
Решение задачи Дирихле для круга с помощью функции источника.
Задача Дирихле для шаровой области.
Обобщенные функции
Понятия поточечного и слабого пределов при построении плотности точечных источников.
Основные функции и пространство Шварца.
Пространство обобщенных функций.
Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Формула Сохоцкого.
Дифференцирование обобщенных функций. Производная от разрывной функции.
Свертка обобщенных функций
Уравнения в свертках. Решение уравнения Пуассона.